已知函数在处取得极值.讨论和是函数的极大值还是极小值；过点作曲线的切线，求此切线方程.

题文

已知函数

在

处取得极值.
（1）讨论

和

是函数

的极大值还是极小值；
（2）过点

作曲线

的切线，求此切线方程. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）ƒ（-1）=2是极大值，ƒ（1）=-2是极小值
（2）切点坐标为M（-2，-2）,切线方程为9x-y+16=0

解析

第一问由函数

在

处取得极值.
说明了ƒ′（1）= ƒ′（-1）=0，得到a,b的值，并代入原式中，判定函数的单调性，得到极值问题。
第二问中，要求过点

作曲线

的切线，先设出切点坐标，然后结合导数的几何意义得到斜率，表示切线方程，再将A点代入方程中得到点的坐标，求解得到。
解:（1）ƒ′(x)=3ax²+2bx-3，依题意，ƒ′（1）= ƒ′（-1）=0，即
3a+2b-3=0，
3a-2b-3=0.解得a=1，  b="0."
∴ƒ（x）=x³-3x，ƒ′(x)=3x²-3=3（x+1）（x-1）.
令ƒ′(x)=0，得x₁=-1，x₂=1.
若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），则ƒ′(x)>0,故ƒ（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是增函数.
若x∈（-1,1），则ƒ′(x)<0,故ƒ（x）在（-1,1）上是减函数.
所以ƒ（-1）=2是极大值，ƒ（1）=-2是极小值.
（1）曲线方程为y=x³-3x,点A（0,16）不在曲线上，设切点为M（x₀,y₀）
则点M的坐标满足y₀= x₀³-3x₀，
因为f’(x₀)=3(x₀²-1),故切线方程为
y-y₀=3(x₀²-1)(x-x₉)
因为点A在曲线上，则可知16-（x₀³-3x₀）=3(x₀²-1)(x-x₉)
化简得到x₀=-2，
所以切点坐标为M（-2，-2）,切线方程为9x-y+16=0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数在处取得极值.（1）讨论和是函数.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）