题文
（本小题满分12分）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）设
，证明：当
时，
；
（3）若函数
的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，
证明：
（x0）＜0． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）
单调增加，在
单调减少.
（2）当
.
故当
，
（3）见解析。
解析
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解单调性和及证明不等式等知识的运用。（1）先求解
然后求解
对于参数a分情况讨论得到单调区间。
（2）构造函数
则其导数为
然后分析导数大于零或者小于零的解即可。
（3）由（1）可得，当
的图像与x轴至多有一个交点，
故
，从而
的最大值为
，这样结合可知分析得到结论。
解：
（1）
（i）若
单调增加.
（ii）若
且
所以
单调增加，在
单调减少. ………………4分
（2）设函数
则
当
.
故当
，
………………8分
（3）由（1）可得，当
的图像与x轴至多有一个交点，
故
，从而
的最大值为
不妨设
由（2）得
从而
由（I）知，
………………12分
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知函数．（1）讨论.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
