题文
(本小题满分14分)若函数
(a，b∈R)，且其导函数f′ (x)的图象过原点．
(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程；
(Ⅱ)若存在x<0使得f′ (x)=－9，求实数a的最大值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
(Ⅰ) 3x－y－8="0." (Ⅱ) a的最大值为
．
解析
第一问，根据导函数图象过原点得b=0,然后就可以求出切线方程；第二问分离出参数a利用基本不等式可以得到a的最大值或者根据一元二次方程根的分布求出a的最大值。解：
，f′ (x)=x2－(a+1)x+b， ……1分
由f′ (0)=0得 b=0，f′ (x)=x(x－a－1). ……3分
(Ⅰ)当a=1时,
，f′ (x)=x(x－2)，f(3)=1，f′ (3)=3. ……5分
所以函数f(x)的图像在x=3处的切线方程为y－1=3(x－3)， ……6分
即3x－y－8=0. ……7分
(Ⅱ)存在，使x<0得f′ (x)=x(x－a－1)=－9，
，a≤－7， ……10分
当且仅当x=－3时，a=－7． ……12分
所以a的最大值为－7． ……14分
(Ⅱ)另解：由题意“存在x<0，使得f′ (x)=x(x－a－1)=－9”有
方程x2－(a+1)x+9=0有负数根． ……8分
又因为两根之积等于9>0，所以两根均为负数． ……10分
则
……12分
解得a≤－7， ……13分
所以a的最大值为
． ……14分
考点
据考高分专家说，试题“(本小题满分14分)若函数(a，b∈R).....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
