题文
（本小题满分14分）设函数
,
（1）求证:不论
为何实数
在定义域上总为增函数;
（2）确定
的值,使
为奇函数;
（3）当
为奇函数时,求
的值域． 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1) 见解析； (2)
（3）
为奇函数时，其值域为
解析
（1）先设x1＜x2，欲证明不论a为何实数f（x）总是为增函数，只须证明：f（x1）-f（x2）＜0，即可；（2）根据f（x）为奇函数，利用定义得出f（-x）=-f（x）恒成立，从而求得a值即可．
（3）由（2）知
，利用指数函数y=2x的性质结合不等式的性质即可求得f（x）的值域．
(1)
的定义域为R, 设
，且
,
则
=
,
,
,
即
,所以不论
为何实数
总为增函数．……………………5分
(2)
为奇函数,
,即
,
整理得
，
则
，解得:
……………………10分
（4）由(2)知
,
,
,
故当
为奇函数时，其值域为
……………………14分
另解：由(2)知
.
由
，得
，
当
时，得
，矛盾，所以
；
故有
.
当
时，
，所以
，解得
.
故当
为奇函数时，其值域为
………………14分
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）设函数,（1）求证:.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
