题文
（16分）已知函数
（1）求证：函数
在
上为单调增函数；
（2）设
，求
的值域；
（3）对于（2）中函数
，若关于
的方程
有三个不同的实数解，求
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）见解析；（2）值域为
；（3）
的取值范围为
。
解析
本试题主要是考查了函数的单调性和最值问题，以及函数与方程的思想的综合运用
（1）根据已知关系式设出变量，作差，变形定号得到结论。
（2）在第一问的基础上，可知分析函数的单调性得到值域。
（（3）因为由（2）可知
可知其图像，然后徐结合图像，
设
，则
有三个不同的实数解，即为
有两个根，且一个在
上，一个在
上，然后分析得到m的范围。
（1）
，设
是
上的任意两个数，且
，……2分
则
……4分
因为
，∴
，∴
即
所以
在
上为增函数， …………………………6分
（2）
，
因为
，所以
，所以
，
即
…………………………8分
又因为
时，
单调递增，
单调递增，
所以
单调递增，所以
值域为
…………………………10分
（3）由（2）可知
大致图象如右图所示，
设
，则
有三个不同的实数解，即为
有两个根，且一个在
上，一个在
上，设
………12分
①当有一个根为1时，
，
，此时另一根为
适合题意； ………………13分
②当没有根为1时，
，得
，∴
∴
的取值范围为
…………………………16分
考点
据考高分专家说，试题“（16分）已知函数（1）求证：函数在上为.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
