已知函数当x∈[2,4]时.求该函数的值域；若恒成立，求m的取值范围.

题文

（本小题满分12分）
已知函数


（1）当x∈[2,4]时.求该函数的值域；
（2）若

恒成立，求m的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数的值域为

；(2)

 

解析

本试题主要是考查了对数性质和对数式的运算，和二次函数的最值求解综合运用
（1）因为

，

，化简为关于t的一元二次函数，然后求解值域。
（2）

对于

恒成立
即

，转换分离参数法得到结论。
解：（1）

       ………………………………2分


             ………………………………3分
此时，

,




 所以函数的值域为

                  ………6分
(2)

对于

恒成立
即

，………8分
易知

                   ………………10分


                                       … …12分

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知函数（1）当x∈.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）