题文
已知函数
的定义域为
，对于任意的
，都有
，且当
时，
，若
.
（1）求证：
为奇函数；
（2）求证:
是
上的减函数；
（3）求函数
在区间
上的值域. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)证明：见解析；（2）证明：见解析；（3）函数
在区间
上的值域为
.
解析
（1）赋值求出
，即证出
为奇函数；（2）利用函数单调性定义和奇函数证出
是
上的减函数；（3）由（2）得函数
在区间
上的最大值是
；最小值是
.
(1)证明：
的定义域为
,令
,则
，
令
,则
，即
.
，故
为奇函数.
4分
（2）证明：任取
且
,
则
又
，
，
，
即
.
故
是
上的减函数.
8分
（3）解:
又
为奇函数,
由(2)知
是
上的减函数,
所以当
时，
取得最大值，最大值为
；
当
时，
取得最小值，最小值为
.
11分
所以函数
在区间
上的值域为
.
12分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数的定义域为，对于任意的，都有，且.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
