题文
本题12分）已知函数
.
(1)求
的定义域；
(2)在函数
的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；
(3)当
，b满足什么条件时，
在
上恒取正值. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1) (0，＋∞).(2)函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴.(3)当a≥b＋1时， f(x)在(1，＋∞)上恒取正值.
解析
（1）由对数函数的真数大于零求解．
（2）当函数在定义域上单调时，则不存在，当函数在定义域上不单调时，则存在，所以要证明函数是否单调，可用定义法，也可用导数法研究．
（3）由“f（x）在（1，+∞）上恒取正值”则需函数的最小值非负即可，由（2）可知是增函数，所以只要f（1）≥0即可．
解 ：(1)由ax－bx>0，
得(
)x>1，且a>1>b>0，得
>1，
所以x>0，即f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2)任取x1>x2>0，a>1>b>0，则ax1>ax2>0，bx1
即lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2). 故f(x1)>f(x2).
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数.
假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直线平行于x轴， 则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾.
故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴.
(3)因为f(x)是增函数，
所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1). 这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，
即当a≥b＋1时， f(x)在(1，＋∞)上恒取正值.
点评：解决该试题的关键是利用导数的几何意义来表示切线的斜率，同时能利用对数的真数大于零得到定义域进而研究其性质。
考点
据考高分专家说，试题“本题12分）已知函数. (1)求的定义域.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
