题文
（14分）已知函数
，其中常数
。
（1）当
时，求函数
的单调递增区间；
（2）当
时，是否存在实数
，使得直线
恰为曲线
的切线？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由；
（3）设定义在
上的函数
的图象在点
处的切线方程为
，当
时，若
在
内恒成立，则称
为函数
的“类对称点”。当
，试问
是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
。（2）不存在；（3）
存在“类对称点”，
是一个“类对称点”的横坐标。
解析
（1）
，其中
，…………………. ………. ……………2
令
得
或
.
……………………………
当
及
时，
当
时，
……………3
的单调递增区间为
。……………………….4
（2）当
时，
，其中
，
令
，…………………………5
方程无解，…………………………………………………6
不存在实数
使得直线
恰为曲线
的切线。………7
（3）由（2）知，当
时，函数
在其图象上一点
处的切线方程为
………………..8
设
则
…………………………………….9
若
在
上单调递减，
时，
，此时
………………………………….
若
在
上单调递减，
时，
，此时
……………………………………
在
上不存在“类对称点”………………..11
若
在
上是增函数，
当
时，
，当
时，
，故
即此时点
是
的“类对称点”
综上，
存在“类对称点”，
是一个“类对称点”的横坐标。…….14
点评：①本题主要考查函数的单调增区间的求法，以及探索满足条件的实数的求法，探索函数是否存在“类对称点”．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．②利用导数求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域。
考点
据考高分专家说，试题“（14分）已知函数，其中常数。（1）当时.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
