题文
（本题满分12分）已知函数f (x)＝－
ax3＋
x2＋(a－1)x－
(x＞0)，(aÎR)．
(Ⅰ)当0＜a＜
时，讨论f (x)的单调性；
(Ⅱ)若f (x)在区间(a, a＋1)上不具有单调性，求正实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当0＜a＜时，f (x)在(0,1)，(
－1,＋¥)递减；在(1,
－1)递增
（2）(0，
)∪(
，1)．
解析
解：(Ⅰ) f (x)的定义域为
.
＝－a(x－1)[x－(
－1)]． ……2分
当0＜a＜
时，
－1＞1，
∴f (x)在(0,1)，(
－1,＋¥)递减；在(1,
－1)递增； ……4分
(Ⅱ) f (x)在区间
上不具有单调性等价于f (x)在区间
内至少有一个极值点． ……5分
①当a＝
时，f ¢(x)＝－
(x－1)2≤0Þf (x)在
上递减,不合题意； …7分
②当a≥1时，f ¢(x)＝0的两根为x1＝1,x2＝
－1，∵
，故不合题意；③当
，且a≠
时，f (x)在区间
上不具有单调性等价于：
或
，且a≠
． ……11分
综上可知，所求
的取值范围是(0，
)∪(
，1)． ……12分
点评：这类问题的解决一般主要涉及两类题型，求解单调区间，同时证明不等式恒成立问题。前者经常要对于参数分类讨论，注意对于一元二次不等式的熟练运用，是解决这个题型的关键，后者主要是求解函数的最值来证明不等式。如果递增，则说明函数在给定区间上导数恒大于等于零，反之，则恒小于等于零。来分离参数的思想求解参数的范围。
考点
据考高分专家说，试题“（本题满分12分）已知函数f (x)＝－.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
