题文
（本题满分12分）把边长为
的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为
，容积为
.
（Ⅰ）写出函数
的解析式，并求出函数的定义域；
（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
，定义域为
。（Ⅱ）容器高为
时，容器的容积最大为
.
解析
（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为
----2分.
则
. ---------4分
函数的定义域为
. --------- 5分
（Ⅱ）实际问题归结为求函数
在区间
上的最大值点.
先求
的极值点.
在开区间
内，
-----------6分
令
，即令
，解得
.
因为
在区间
内，
可能是极值点. 当
时，
；
当
时，
. ------------8分
因此
是极大值点，且在区间
内，
是唯一的极值点，
所以
是
的最大值点，并且最大值
即当正三棱柱形容器高为
时，容器的容积最大为
.----------12分
点评：本题主要考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中解答本题的关键是根据已知求出棱柱的底面面积和高，进而求出函数的解析式，建立数学模型．求解析式的时候，要记得求函数的定义域。
考点
据考高分专家说，试题“（本题满分12分）把边长为的等边三角形铁.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
