题文
（本小题满分12分）设函数
(Ⅰ) 当
时，求函数
的最大值；
(Ⅱ)当
，
，方程
有唯一实数解，求正数
的值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)的极大值为
，此即为最大值；(2)
。
解析
(1)依题意，知
的定义域为(0，＋∞)，当
时，
，
……………2分
令
＝0，解得
．(∵
)
当
时，
，此时
单调递增；当
时，
，此时
单调递减．
所以
的极大值为
，此即为最大值 ……………4分
(2)因为方程
有唯一实数解，所以
有唯一实数解，
设
，则
．令
，
．
因为
，
， 所以
(舍去)，
，…… 6分
当
时，
，
在(0，
)上单调递减，
当
时，
，
在(
，＋∞)单调递增
当
时，
＝0，
取最小值
．
则
既
……………10分
所以
，因为
，所以
(*)
设函数
，因为当
时，
是增函数，所以
至多有一解．
因为
，所以方程(*)的解为
，即
，解得
………12分
(直接看出x=1时，m=1/2但未证明唯一性的给3分)
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间、最值情况，得出方程解的存在情况。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）设函数(Ⅰ) 当时，.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
