定义在R上的函数，对任意不等的实数都有成立，又函数的图象关于点对称，若不等式成立，则当1≤x<4时，的取值范围是A．B．C．D．

题文

定义在R上的函数

，对任意不等的实数

都有

成立，又函数

的图象关于点（1，0）对称，若不等式

成立，则当1≤x<4时，

的取值范围是A．

B．

C．

D．

题型：未知 难度：其他题型

答案

A

解析

解：因为对任意不等实数x₁，x₂满足

所以函数f（x）是定义在R上的单调递减函数．因为函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，所以函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数f（x）是定义在R上的奇函数．又因为对于任意的x，y∈R，不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0成立，所以f（x²-2x）≥f（-2y+y²）成立，所以根据函数的单调性可得：对于任意的x，y∈R，不等式x²-2x≥y²-2y成立，即（x-y）（x+y-2）≥0（1≤x≤4），所以可得其可行域，如图所示：



因为

=

所以

表示点（x，y）与点（0，0）连线的斜率，所以结合图象可得：

的最小值是直线OC的斜率-

 ，最大值是直线AB的斜率1，所以

的范围为：[

故答案为：


点评：解决此类问题的关键是熟练掌握抽象函数的性质的证明与判断，如单调性、奇偶性的证明与判断，并且熟练的利用函数的性质解有关的不等式，以及熟练掌握线性规划问题，此题综合性较强知识点也比较零散，对学生掌握知识与运用知识的能力有一定的要求．

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的函数，对任意不等的实数都有成.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）