题文
设函数
的图像在
处取得极值4.
(1)求函数
的单调区间；
(2)对于函数
，若存在两个不等正数
，当
时，函数
的值域是
，则把区间
叫函数
的“正保值区间”.问函数
是否存在“正保值区间”，若存在，求出所有的“正保值区间”；若不存在，请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）递增区间是
和
，递减区间是
；（2）不存在.
解析
（1）求导，利用极值点的坐标列出方程组，解出
，确定函数解析式，再求导，求单调区间；（2）先假设存在“正保值区间”
，通过已知条件验证是否符合题意，排除不符合题意得情况.
试题解析：（1）
， 1分
依题意则有：
，即
解得
v 3分
∴
.令
，
由
解得
或
，v 5分
所以函数
的递增区间是
和
，递减区间是
6分
（2）设函数
的“正保值区间”是
，因为
，
故极值点
不在区间
上；
①若极值点
在区间
，此时
，在此区间上
的最大值是
4，不可能等于
；故在区间
上没有极值点； 8分
②若
在
上单调递增，即
或
，
则
，即
，解得
或
不符合要求； 10分
③若
在
上单调减，即1
，
两式相减并除
得：
， ①
两式相除可得
，即
，
整理并除以
得：
，②
由①、②可得
，即
是方程
的两根，
即存在
，
不合要求. 12分
综上可得不存在满足条件的s、t，即函数
不存在“正保值区间”。 13分
考点
据考高分专家说，试题“设函数的图像在处取得极值4.(1)求函数.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
