题文
已知函数
，且
．
（1）求
的值，并确定函数
的定义域；
（2）用定义研究函数
在
范围内的单调性；
（3）当
时，求出函数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
，定义域：
；（2）
上是减函数，
上是增函数；
（3）
．
解析
（1）直接代入列出关于
的方程即可；（2）要正确理解单调性的定义，明确用定义研究（或证明）函数的单调性的格式过程，设
，然后比较
和
的大小，通常是作差
（也可
），确定差的正负；（3）由（2）中的单调性，可容易求出函数的取值范围．
试题解析：（1）
，定义域：
； 3分
（2）令
，则
，
6分
故当
时，
；当
时，
，
∴函数
在
上单调减，在
上单调增； 8分
（3）由（2）及函数
为奇函数知，函数
在
为增函数，在
为减函数，故当
时，
， 10分
，
∴当
时，
的取值范围是
． 12
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，且．（1）求的值，并确定函数的.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
