题文
若函数
为定义域
上的单调函数,且存在区间
(其中
,使得当
时,
的取值范围恰为
,则称函数
是
上的正函数,区间
叫做函数的等域区间.
（1）已知
是
上的正函数，求
的等域区间；
（2）试探求是否存在
，使得函数
是
上的正函数？若存在，请求出实数
的取值范围；若不存在，请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）存在，
解析
（1）因为
是
上的正函数，根据正函数的定义建立方程组，解之可求出
的等域区间；
（2）根据函数函数
是
上的正函数建立方程组，消去
，求出
的取值范围，转化成关于
的方程
在
上有实数解进行求解．
试题解析：(1)
(2)假设存在
，使得函数
是
上的正函数，且此时函数在
上单调递减
存在
使得：
（*）
两式相减得
，代入上式：
即关于
的方程
在
上有解
方法①参变分离：即
令
，所以
实数
的取值范围为
方法②实根分布：令
，即函数的图像在
内与
轴有交点，
，解得
方法③ ：（*）式等价于方程
在
上有两个不相等的实根
考点
据考高分专家说，试题“若函数为定义域上的单调函数,且存在区间(.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
