题文
对于函数
，若存在区间
，使得
，则称区间
为函数
的一个“好区间”．给出下列4个函数：
①
；②
；③
；④
．
其中存在“好区间”的函数是 ．（填入所有满足条件函数的序号） 题型：未知 难度：其他题型
答案
②③④解析
①函数
在
上是单调增函数，若函数在
上存“好区间”
则必有
，即方程
有两个根，令
在
上恒成立，所以函数
在
上为减函数，则函数
在
上至多一个零点，即方程
在
上不可能有两个解，又因为函数
的值域为
，所以当
或
时，方程
无解.所以函数
没有“好区间”；
②对于函数
，该函数在
上是增函数由幂函数的性质我们易得，
时，
，所以
为函数
的一个“好区间”.
③对于函数
当
时
，所以函数
的增区间有
和
，减区间是
，取
，此时
，所以函数
在
上的值域了是
，则
为函数的一个“好区间”；
④函数
在定义域
上为增函数，若有“好区间”
则
也就是函数
有两个零点，显然
是函数的一个零点，由
得，
,函数
在
上为减函数；由
，得
，函数在
上为增函数.所以
的最大值为
，则该函数
在
上还有一个零点.所以函数
存在“好区间”.
考点
据考高分专家说，试题“对于函数，若存在区间，使得，则称区间为函.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
