题文
如图，两个工厂A、B相距2km，点O为AB的中点，要在以O为圆心，2km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼，其中MA⊥AB，NB⊥AB.据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比，比例系数为1；办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比，比例系数为4，办公楼与A、B两厂的“总噪音影响度”y是A、B两厂“噪音影响度”的和，设AP为xkm.
(1)求“总噪音影响度”y关于x的函数关系式，并求出该函数的定义域；
(2)当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？ 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）y＝
(
≤x≤
)（2）AP＝
km
解析
(1)(解法1)如图，连结OP，
设∠AOP＝α，则
≤α≤
.
在△AOP中，由余弦定理得x2＝12＋22－2×1×2cosα＝5－4cosα，
在△BOP中，由余弦定理得BP2＝12＋22－2×1×2cos(π－α)＝5＋4cosα，
∴BP2＝10－x2，∴y＝
.
∵
≤α≤
，∴
≤x≤
，∴y＝
(
≤x≤
)．
(解法2)建立如图所示的直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设P(m，n)，则PA2＝(m＋1)2＋n2，PB2＝(m－1)2＋n2.
∵m2＋n2＝4，PA＝x，
∴PB2＝10－x2(后面解法过程同解法1)．
(2)(解法1)y＝
＝
[x2＋(10－x2)]
＝
(5＋
)≥
(5＋2
)＝
，
当且仅当
，即x＝
∈[
，
]时取等号．
故当AP＝
km时，“总噪音影响度”最小．
(解法2)由y＝
，得
y′＝－
.
∵
≤x≤
，∴令y′＝0，得x＝
，且当x∈
时，y′<0；当x∈(
，
]时，y′>0.∴x＝
时，y＝
取极小值，也即最小值．故当AP＝
km时，“总噪音影响度”最小
考点
据考高分专家说，试题“如图，两个工厂A、B相距2km，点O为A.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
