已知f(x)＝x＋－3，x∈[1，2]．(1)当b＝2时，求f(x)的值域；(2)若b为正实数，f(x)的最大值为M，最小值为m，且满足M－m≥4，求b的取值范

题文

已知f(x)＝x＋

－3，x∈[1，2]．
(1)当b＝2时，求f(x)的值域；
(2)若b为正实数，f(x)的最大值为M，最小值为m，且满足M－m≥4，求b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）2

－3，0]（2）[10，＋∞)

解析

(1)当b＝2时，f(x)＝x＋

－3，x∈[1，2]．
因为f(x)在[1，

]上单调递减，在[

，2]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(

)＝2

－3.
又f(1)＝f(2)＝0，
所以f(x)的值域为[2

－3，0]．
(2)①当0＜b＜2时，f(x)在[1，2]上单调递增，
则m＝b－2，M＝

－1，此时M－m＝－

＋1≥4，得b≤－6，与0＜b＜2矛盾，舍去；
②当2≤b＜4时，f(x)在[1，

]上单调递减，在[

，2]上单调递增，所以M＝max{f(1)，f(2)}＝b－2，m＝f(

)＝2

－3，则M－m＝b－2

＋1≥4，得(

－1)²≥4，解得b≥9，与2≤b＜4矛盾，舍去；
③当b≥4时，f(x)在[1，2]上单调递减，则M＝b－2，m＝

－1，此时M－m＝

－1≥4，得b≥10.综上所述，b的取值范围是[10，＋∞)．

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)＝x＋－3，x∈[1，2]．.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）