某企业拟建造如图所示的容器，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且l≥2r．

题文

（2011•山东）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为

立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元．
（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该容器的建造费用最小时的r．


题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）y=2π•

，  （0，2]
（2）

解析

（1）由体积V=

，解得l=

，
∴y=2πrl×3+4πr²×c
=6πr×

+4cπr²
=2π•

，
又l≥2r，即

≥2r，解得0＜r≤2
∴其定义域为（0，2]．
（2）由（1）得，y′=8π（c﹣2）r﹣

，
=

，0＜r≤2
由于c＞3，所以c﹣2＞0
当r³﹣

=0时，则r=


令

=m，（m＞0）
所以y′=


①当0＜m＜2即c＞

时，
当r=m时，y′=0
当r∈（0，m）时，y′＜0
当r∈（m，2）时，y′＞0
所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当m≥2即3＜c≤

时，
当r∈（0，2）时，y′＜0，函数单调递减．
所以r=2是函数y的最小值点．
综上所述，当3＜c≤

时，建造费用最小时r=2；
当c＞

时，建造费用最小时r=

考点

据考高分专家说，试题“（2011•山东）某企业拟建造如图所示的.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）