题文
定义函数
(
为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的
的模.若模存在最大值，则称之为函数
的长距；若模存在最小值，则称之为函数
的短距.
(1)分别判断函数
与
是否存在长距与短距，若存在，请求出;
(2)求证：指数函数
的短距小于1;
(3)对于任意
是否存在实数
，使得函数
的短距不小于2，若存在，请求出
的取值范围；不存在，则说明理由？ 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
短距为
，长距不存在，
短距为
，长距为5；（2）证明见解析；（3）
.
解析
本题属于新定义概念，问题的实质是求函数
图象上的点到原点的距离的最大值和最小值（如有的话）,正面讨论时我们把距离表示为
的函数.（1）对
，
（当且仅当
时等号成立），因此存在短距为
，不存在长距，对
，
，
，即有最大值也有最小值，因此短距和长距都有；（2）对函数
，
，由于
，因此短距不大于1，令
，则有
，故当
时，存在
使得
，当
时，存在
使得
，即证；（3）记
，按题意条件，则有不等式
对
恒成立，这类不等式恒成立求参数取值范围问题，我们可采取分离参数法，转化为求函数的最值，按
分别讨论，由此可求得
的范围.
（1）设
（当且仅当
取得等号）+2分
短距为
，长距不存在。 +4分
（2）设
+6分
+8分
短距为
，长距为5。 +9分
（3）设
函数
的短距不小于2
即
对于
始终成立：+10分
当
时：
对于
始终成立
+12分
当
时：取
即可知显然不成立 +13分
当
时：
对于
始终成立
+15分
综上
+16分
考点
据考高分专家说，试题“定义函数(为定义域)图像上的点到坐标原点.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
