已知函数当时，求函数的单调区间和极值。若函数在[1，4]上是减函数，求实数的取值范围.

题文

已知函数


（1）当

时，求函数

的单调区间和极值。
（2）若函数

在[1，4]上是减函数，求实数

的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）减区间是

；增区间是

；极小值是


（2）

解析

（1）函数

的定义域为（0，+∞）。
当

时，

    当

变化时，

的变化情况如下：





的单调递减区间是

 ；单调递增区间是

。
极小值是

   6分
（2）由

，得


又函数

为[1，4]上的单调减函数。
则

在[1，4]上恒成立，
所以不等式

在[1，4]上恒成立，
即

在[1，4]上恒成立。     设

，显然

在[1，4]上为减函数，所以

的最小值为



的取值范围是

 

考点

据考高分专家说，试题“已知函数（1）当时，求函数的单调区间和极.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）