已知函数f(x)＝(a是常数且a>0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在[，＋∞)上恒

题文

已知函数f(x)＝

 (a是常数且a>0)．对于下列命题：
①函数f(x)的最小值是－1；
②函数f(x)在R上是单调函数；
③若f(x)>0在[

，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是a>1；
④对任意x₁<0，x₂<0且x₁≠x₂，恒有f(

)<

.
其中正确命题的所有序号是________． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①③④

解析

作出函数f(x)的图象如图所示，显然f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－1，故命题①正确；



显然，函数f(x)在R上不是单调函数，②错误；
因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在[

，＋∞)上的最小值为f(

)＝2a×

－1＝a－1，所以若f(x)>0在[

，＋∞)上恒成立，则a－1>0，即a>1，故③正确；
由图象可知，在(－∞，0)上，对任意x₁<0，x₂<0且x₁≠x₂，恒有f(

)<

成立，故④正确．

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)＝(a是常数且a>.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足

的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则

  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如

（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）