题文
已知
为常数，
，函数
，
且方程
有等根．
（1）求
的解析式及值域；
（2）设集合
，
，若
，求实数
的取值范围；
（3）是否存在实数
，使
的定义域和值域分别为
和
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
，值域为
；（2）
；（3）存在
，
使
的定义域和值域分别为
和
.
解析
（1）由方程
有两个相等的实数根，则
，得
，又由
，可求
，从而求得
，进而得出函数的值域；
（2）首先对集合
进行分类：①
；②
；然后根据二次函数图像以及根的分布情况，分别确定实数
的取值范围；最后将这两类情况的实数
的取值范围取并集即可；
（3）由函数
的最大值，确定
，从而知当
时，
在
上为增函数.若满足题设条件的
存在，则
，从而可求
的值.
试题解析：（1）
又方程
，
，即
有等根，
，即
，从而
，
.
又
，值域为
.
（2）
，
①当
时，
，此时
，解得
；
②当
时，设
，对称轴
，要
，只需
，解得
，
.
综合①②，得
.
（3）
，则有
，
.
又因为对称轴
，所以
在
是增函数，即
，
解得
，
.
∴存在
，
使
的定义域和值域分别为
和
.
考点
据考高分专家说，试题“已知为常数，，函数，且方程有等根．（1）.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。
1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足
的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则
。
3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如
（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
