设函数f(x)=a•b，其中向量a=(3，-1)，b=(sinx，cosx)，x∈R求使f取得最大值时，向量a和b的夹角；若A={x|f

题文

设函数f(x)=a•b，其中向量a=(3，-1)，b=(sinx，cosx)，x∈R
（1）求使f（x）取得最大值时，向量a和b的夹角；
（2）若A={x|f（x）≥1}，B={x|-π≤x≤π}，求A∩B；
（3）若x∈{A，B，C}，且A，B，C是某个锐角三角形的三个内角，求证；存在x₀∈{A，B，C}，使得f（x₀）≤1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵a=(3，-1)，b=(sinx，cosx)
∴f（x）=a•b=3sinx-cosx=2sin(x-π6)
（1）当sin(x-π6) =1
即x-π6=2kπ+π2，即x=2kπ+2π3(k∈Z)时，f（x）取得最大值
此时b=(32，-12)
∴cos＜a，b＞  =a•b|a| |b|=32+122×1=1
∴＜a，b＞  =0
（2）由f（x）≥1，得sin(x-π6) ≥12
∴2kπ+π6≤x-π6≤ 2kπ+5π6 (k∈Z)
∴2kπ+π3≤x≤ 2kπ+π   (k∈Z)
∴A={x|2kπ+π3≤x≤2kπ+π，k∈Z}
又B={x|-π≤x≤π}
∴A∩B=[π3，π]
证明：（3）∵x∈{A，B，C}，且A，B，C是某个锐角三角形的三个内角，且A+B+C=π
设A、B、C中的最小角x₀∈{A，B，C}
∴0＜x0＜π3
∴-π6＜x0-π6≤ π6
∴f(x0) =2sin(x0-π6)  ≤2×12=1
∴存在x₀∈{A，B，C}，使得f（x₀）≤1

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=a•b，其中向量a=(3.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

1、交集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为


。

2、并集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为


。

3、全集、补集概念：

（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
        补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作C_UA，读作U中A的补集，表达式为C_UA={x|x∈U，且x

A}。
（2）韦恩图表示为


。

1、交集的性质：

 

2、并集的性质：

 

3、补集的性质：