已知函数f(x)=x+2x．求证：函数f在区间[2，+∞）上是增函数；设集合M={y|y=f-x，x∈[-1，0）∪（0，2]}，求集合

题文

已知函数f(x)=x+2x．
（1）求证：函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；
（2）设集合M={y|y=f（x）-x，x∈[-1，0）∪（0，2]}，求集合M． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵f′（x）=1-2x2，又x∈[2，+∞），
∴0＜2x2≤12，-12≤-2x2＜0，12≤1-2x2＜1，
即f′（x）≥12＞0，
∴函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；
（2）∵|y=f（x）-x=2x，在（-∞，0），（0，+∞）为减函数，又x∈[-1，0）∪（0，2]，
∴y≤-2或y≥1．
∴M={y|y≤-2或y≥1}．

解析

2x2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x+2x．（1）求证：.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

1、交集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为


。

2、并集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为


。

3、全集、补集概念：

（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
        补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作C_UA，读作U中A的补集，表达式为C_UA={x|x∈U，且x

A}。
（2）韦恩图表示为


。

1、交集的性质：

 

2、并集的性质：

 

3、补集的性质：