重要结论
1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，和xy有最大值S2/4。
3．证明不等式的常用方法：
比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。
分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。
4．不等式的解法
（1） 不等式的有关概念
同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。
同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。
提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形
去分母、去括号、移项、合并同类项
（2） 不等式ax > b的解法
①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a}；
②当a<0时不等式的解集是{x|x
③当a=0时，b<0，其解集是R；b0， 其解集是ф。
（3） 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系
（4）绝对值不等式
｜x｜＜a（a＞0）的解集是｛x｜－a＜x＜a｝，几何表示为：
o o
－a 0 a
｜x｜＞a（a＞0）的解集是｛x｜x＜－a或x＞a｝，几何表示为：
o o
－a 0 a
小结：解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号（整体思想，分类讨论）转化为不含绝对值的不等式，通常有下列三种解题思路：
（1）定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号；
（2）公式法：| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < －a；| f(x) | < a －a （3）平方法：| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2；| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2；（4）几何意义。 (5)分式不等式的解法 (6)一元高次不等式的解法 数轴标根法 把不等式化为f(x)＞0（或＜0）的形式（首项系数化为正），然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。 （7）含有绝对值的不等式 定理：|a| － |b|≤|a+b|≤|a| + |b| |a| － |b|≤|a+b| 中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立 |a+b|≤|a| + |b| 中当且仅当ab≥0等号成立 推论1：｜a1 + a2 + a3| ≤｜a1 | +| a2 | + | a3| 推广：｜a1 + a2 +...＋ an| ≤｜a1 | +| a2 | +...+ | an| 推论2：|a| － |b|≤|a－b|≤|a| + |b| 二、常见题型专题总结： 专题一：利用不等式性质，判断其它不等式是否成立 1、a、b∈R，则下列命题中的真命题是（ C ） A、若a>b，则|a|>|b| B、若a>b，则1/a<1/b C、若a>b，则a3>b3 D、若a>b，则a/b>1 2、已知a<0.－1 A、a>ab>ab2 B、ab2>ab>a C、ab>a>ab2 D、ab>ab2>a 3、当0 A、(1a)1/b >(1a)b B、(1+a)a>(1+b)b C、(1a)b >(1a)b/2 D、(1a)a>(1b)b 4、若loga3>logb3>0，则a、b的关系是（ B ） A、0a>1 C、0 5、若a>b>0，则下列不等式①1/a<1/b；②a2>b2；③lg(a2+1)>lg(b2+1)；④2a>2b中成立的是（ A ） A、①②③④ B、①②③ C、①② D、③④ （二）比较大小 1、若0<α<β<π/4，sinα+cosα=a，sinβ+cosβ=b，则（ A ） A、a＜b B、a＞b C、ab＜1 D、ab＞2 2、a、b为不等的正数，n∈N，则(anb+abn)－(an－1+bn－1)的符号是（ C ） A、恒正 B、恒负 C、与a、b的大小有关 D、与n是奇数或偶数有关 3、设1＜x＜10，则lg2x，lgx2，lg(lgx)的大小关系是lgx2>lg2x>lg(lgx) 4、设a>0，a≠1，比较logat/2与loga(t+1)/2的大小。 分析：要比较大小的式子较多，为避免盲目性，可先取特殊值估测各式大小关系，然后用比较法（作差）即可。 （三）利用不等式性质判断P是Q的充分条件和必要条件 1、设x、y∈R，判断下列各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系 ⑴命题甲：x>0且y>0， 命题乙：x+y>0且xy>0 充要条件 ⑵命题甲：x>2且y>2， 命题乙：x+y>4且xy>4 充分不必要条件 2、已知四个命题，其中a、b∈R ①a2 3、"a+b>2c"的一个充分条件是（ C ） A、a>c或b>c B、a>c或b＜c C、a>c且b>c D、a>c且b＜c （四）范围问题 1、设60＜a＜84，－28＜b＜33，求：a+b，a－b，a/b的范围。 2、若二次函数y=f(x)的图象过原点，且1≤f(1)≤2，3≤f(1)≤3，求f(2)的范围。 （五）均值不等式变形问题 1、当a、b∈R时，下列不等式不正确的是（ D ） A、a2+b2≥2|a|？|b| B、(a/2+b/2)2≥ab C、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2 D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|？|b|) 2、x、y∈(0，+∞)，则下列不等式中等号不成立的是（ A ） C、(x+y)(1/x+1/y)≥4 D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2 3、已知a>0，b>0，a+b=1，则(1/a21)(1/b21)的最小值为（ D ） A、6 B、7 C、8 D、9 4、已知a>0，b>0，c>0，a+b+c=1，求证：1/a+1/b+1/c≥9 5、已知a>0，b>0，c>0，d>0，求证： （六）求函数最值 1、若x>4，函数 5、大、－6 2、设x、y∈R， x+y=5，则3x+3y的最小值是（ ）D A、10 B、 C、 D、 3、下列各式中最小值等于2的是（ ）D A、x/y+y/x B、 C、tanα+cotα D、2x+2－x 4、已知实数a、b、c、d满足a+b=7，c+d=5，求(a+c)2+(b+d)2的最小值。 5、已知x>0，y>0，2x+y=1，求1/x+1/y的最小值。 （七）实际问题 1、为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2cm的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a、b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。 解一：设流出的水中杂质的质量分数为y， 由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k>0) 据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0，b>0) 由a>0，b>0可得0 令t=2+a，则a=t－2从而当且仅当t=64/t，即t=8，a=6时等号成立。∴y=k/ab≥k/18 当a=6时，b=3， 综上所述，当a=6m，b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。 解二：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k>0) 要求y的最小值，即要求ab的最大值。 据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0，b>0)，即a+2b+ab=30 即a=6，b=3时，ab有最大值，从而y取最小值。 综上所述，当a=6m，b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。 2、某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126 米2的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a元；②修1米旧墙的费用为a/4元；③拆去1米旧墙用所得材料建1米新墙的费用为a/2元.经过讨论有两种方案：⑴利用旧墙的一段x(x<14)米为矩形厂房的一面边长；⑵矩形厂房的一面长为x(x≥14).问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？⑴⑵两种方案哪种方案最好？ 解：设总费用为y元，利用旧墙的一面矩形边长为x米，则另一边长为126/x米。 ⑴若利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x？a/4元，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x)？a/2元，其余的建新墙的费用为(2x+ 2？126/x－14)？a元，故总费用 当且仅当x＝12时等号成立，∴x＝12时ymin=7a(6－1)=35a。 ⑵若利用旧墙的一段x米(x≥14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x？a/4元，建新墙的费用为(2x+ 2？126/x－14)？a元，故总费用 设f(x)=x+126/x， x2>x1≥14，则f(x2)－f(x1)= x2+126/x2－(x1+126/x1) =(x2x1)(1126/x1x2)>0∴f(x)=x+126/x在［14，＋∞)上递增，∴f(x)≥f(14) ∴x=14时ymin=7a/2+2a(14+126/14－7)=35.5a 高三数学题综上所述，采用方案⑴，即利用旧墙12米为矩形的一面边长，建墙费用最省。
