已知a＞1，设p：a+1＞0，q：2＞a+1．试寻求使得p、q都成立的x的集合．

题文

已知a＞1，设p：a（x-2）+1＞0，q：（x-1）²＞a（x-2）+1．试寻求使得p、q都成立的x的集合． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设A={x|a（x-2）+1＞0}，B={x|（x-1）²＞a（x-2）+1}，
依题意，求使得p、q都成立的x的集合即是求集合A∩B，
∵a(x-2)+1＞0(x-1)2＞a(x-2)+1⇒x＞2-1ax2-(2+a)x+2a＞0⇒x＞2-1a(x-a)(x-2)＞0---（4分）
∴若1＜a＜2时，则有x＞2-1ax＞2或x＜a，而a-(2-1a)=a+1a-2＞0，
所以a＞2-1a，
即当1＜a＜2时使p、q都成立的x∈{x|x＞2或2-1a＜x＜a}；----（6分）
当a=2时易得使p、q都成立的x∈{x|x＞32，且x≠2}；----（8分）
若a＞2，则有x＞2-1ax＞a或x＜2，----（10分）
此时使得P、Q都成立的x∈{x|x＞a或2-1a＜x＜2}．----（12分）．

解析

a(x-2)+1＞0(x-1)2＞a(x-2)+1

考点

据考高分专家说，试题“已知a＞1，设p：a（x-2）+1＞0，.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

1、交集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为


。

2、并集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为


。

3、全集、补集概念：

（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
        补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作C_UA，读作U中A的补集，表达式为C_UA={x|x∈U，且x

A}。
（2）韦恩图表示为


。

1、交集的性质：

 

2、并集的性质：

 

3、补集的性质：