已知数列{an}，an=pn+λqn．求证：数列{an+1-pan}为等比数列；数列{an}中，

题文

已知数列{a_n}，a_n=pⁿ+λqⁿ（p＞0，q＞0，p≠q，λ∈R，λ≠0，n∈N*）．
（1）求证：数列{a_n+1-pa_n}为等比数列；
（2）数列{a_n}中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；
（3）设A={（n，b_n）|b_n=3ⁿ+kⁿ，n∈N*}，其中k为常数，且k∈N^*，B={（n，c_n）|c_n=5ⁿ，n∈N*}，求A∩B．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）∵a_n=pⁿ+λqⁿ，
∴a_n+1-pa_n=pⁿ⁺¹+λqⁿ⁺¹-p（pⁿ+λqⁿ）=λqⁿ（q-p），
∵λ≠0，q＞0，p≠q
∴an+2-pan+1an+1-pan=q为常数
∴数列{a_n+1-pa_n}为等比数列
（2）取数列{a_n}的连续三项a_n，a_n+1，a_n+2（n≥1，n∈N^*），
∵a_n+1²-a_na_n+2=（pⁿ⁺¹+λqⁿ⁺¹）²-（pⁿ+λqⁿ）（pⁿ⁺²+λqⁿ⁺²）=-λpⁿqⁿ（p-q）²，
∵p＞0，q＞0，p≠q，λ≠0，
∴-λpⁿqⁿ（p-q）²≠0，即a_n+1²≠a_na_n+2，
∴数列{a_n}中不存在连续三项构成等比数列；
（3）当k=1时，3ⁿ+kⁿ=3ⁿ+1＜5ⁿ，此时B∩C=∅；
当k=3时，3ⁿ+kⁿ=3ⁿ+3ⁿ=2•3ⁿ为偶数；而5ⁿ为奇数，此时B∩C=∅；
当k≥5时，3ⁿ+kⁿ＞5ⁿ，此时B∩C=∅；
当k=2时，3ⁿ+2ⁿ=5ⁿ，发现n=1符合要求，
下面证明唯一性（即只有n=1符合要求）．
由3ⁿ+2ⁿ=5ⁿ得(35)n+(25)n=1，
设f(x)=(35)x+(25)x，则f(x)=(35)x+(25)x是R上的减函数，
∴f（x）=1的解只有一个
从而当且仅当n=1时(35)n+(25)n=1，
即3ⁿ+2ⁿ=5ⁿ，此时B∩C={（1，5）}；
当k=4时，3ⁿ+4ⁿ=5ⁿ，发现n=2符合要求，
下面同理可证明唯一性（即只有n=2符合要求）．
从而当且仅当n=2时(35)n+(45)n=1，
即3ⁿ+4ⁿ=5ⁿ，此时B∩C={（2，25）}；
综上，当k=1，k=3或k≥5时，B∩C=∅；
当k=2时，B∩C={（1，5）}，
当k=4时，B∩C={（2，25）}．

解析

an+2-pan+1an+1-pan

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}，an=pn+λqn（p.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

1、交集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为

。