已知函数f(x)=ln(ex+1)-12x．求函数的单调区间，并判断函数的奇偶性；若不等式f≤f的解集是A={x|x2-5

题文

已知函数f(x)=ln(ex+1)-12x．
（Ⅰ）求函数的单调区间，并判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）若不等式f（x²+2）≤f（2ax-a）的解集是A={x|x²-5x+4≤0}的子集，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f′(x)=exex+1-12=ex-12(ex+1)，
当x∈[0，+∞）时，f′（x）≥0
∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，在（-∞，0）上是单调减函数
由f(x)-f(-x)=lnex+1e-x+1-x=lnex-x=0∴f（x）为R上的偶函数
（Ⅱ）由x²+2＞0，f（2ax-a）=f（|2ax-a|）
从而不等式等价于：x²+2≤|a||2x-1|
又不等式x²-5x+4≤0的解集为A=[1，4]的子集，
故1≤x≤4，∴2x-1＞0
即x²+2-2|a|x+|a|≤0
1⁰当△＜0时，不等式的解集为空集，满足条件，即|a|∈（-1，2）⇒|a|＜2成立；
2⁰当△=0时，|a|=2，此时x²-4x+4≤0⇒x=2∈A成立；
3⁰当△＞0时，|a|＞2，
设方程x²+2-2|a|x+|a|=0的两根为x₁，x₂，则f(1)≥0f(4)≥01＜|a|＜4|a|＞2⇒2＜|a|≤187
综上，|a|≤187⇒a∈[-187，187]

解析

exex+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ln(ex+1)-12.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

1、交集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为


。

2、并集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为


。

3、全集、补集概念：

（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
        补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作C_UA，读作U中A的补集，表达式为C_UA={x|x∈U，且x

A}。
（2）韦恩图表示为


。

1、交集的性质：

 

2、并集的性质：

 

3、补集的性质：