设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆[1，4]，求实数a的范围．

题文

设不等式x²-2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆[1，4]，求实数a的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

M⊆[1，4]有两种情况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围．
设f （x）=x²-2ax+a+2，有△=（-2a）²-4（a+2）=4（a²-a-2）．…（2分）
（1）当△＜0时，-1＜a＜2，M=∅⊆[1，4]．…（3分）
（2）当△=0时，a=-1或2．
当a=-1时，M={-1}⊄[1，4]，故舍去．
当a=2时，M={2}⊆[1，4]．…（6分）
（3）当△＞0时，有a＜-1或a＞2．
设方程f （x）=0的两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
那么M=[x₁，x₂]，由M⊆[1，4]可得 1≤x₁＜x₂≤4，故应有f（1）≥0，f（4）≥0，
且f （x）=0的对称轴x=a∈[1，4]，即f(1)≥0，f(4)≥01≤a≤4，△＞0，…（8分）
∴-a+3≥018-7a≥01≤a≤4a＜-1或a＞2，解得2＜a≤187．…（10分）
综上可得，M⊆[1，4]时，a的取值范围是[-1，187]．…（12分）

解析

f(1)≥0，f(4)≥01≤a≤4，△＞0

考点

据考高分专家说，试题“设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

1、交集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为


。

2、并集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为


。

3、全集、补集概念：

（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
        补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作C_UA，读作U中A的补集，表达式为C_UA={x|x∈U，且x

A}。
（2）韦恩图表示为


。

1、交集的性质：

 

2、并集的性质：

 

3、补集的性质：