已知不等式：3-xx2+1＞1的解集为A．求解集A；若a∈R，解关于x的不等式：ax2+1＜x；求实数a的取值范围，使关于x的不等式

题文

已知不等式：3-xx2+1＞1的解集为A．
（1）求解集A；
（2）若a∈R，解关于x的不等式：ax²+1＜（a+1）x；
（3）求实数a的取值范围，使关于x的不等式：ax²+1＜（a+1）x的解集C满足C∩A=∅． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）去分母化简得x²+x-2＜0，∴-2＜x＜1，∴A=（-2，1）
（2）ax²+1＜（a+1）x等价于ax²-（a+1）x+1＜0，即（ax-1）（x-1）＜0
1）当a＞0时，ax²-（a+1）x+1＜0等价于a(x-1a)(x-1)＜0，即(x-1a)(x-1)＜0，
所以：①当a＞1时，1a＜x＜1；  ②当a=1时，x∈∅；  ③当0＜a＜1时，1＜x＜1a；
2）当a=0时，x＞1
3）当a＜0时，x＞1或x＜1a
（3）若C∩A=∅，则：
①当a＞1时，C=(1a，1)，不可能成立；
②当a=1时，x∈∅，成立；
③当0＜a＜1时，1＜x＜1a，成立；
2）当a=0时，x＞1，成立；
3）当a＜0时，C=(-∞，1a)∪(1，+∞)，须有1a≤-2，则-12≤a＜0．
综上：a∈[-12，1]

解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“已知不等式：3-xx2+1＞1的解集为A.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

1、交集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为


。

2、并集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为


。

3、全集、补集概念：

（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
        补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作C_UA，读作U中A的补集，表达式为C_UA={x|x∈U，且x

A}。
（2）韦恩图表示为


。

1、交集的性质：

 

2、并集的性质：

 

3、补集的性质：