已知函f=ex-x．求f的最小值；不等式f＞ax的解集为P，若M={x|12≤x≤2}且M∩P≠∅求实数a的

题文

已知函f（x）=e^x-x （e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|12≤x≤2}且M∩P≠∅求实数a的取值范围；
（3）已知n∈N⁺，且S_n=∫_n⁰f（x）dx，是否存在等差数列{a_n}和首项为f（I）公比大于0的等比数列{b_n}，使得a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…b_n=S_n？若存在，请求出数列{a_n}、{b_n}的通项公式．若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）=e^x-x，∴f′（x）=e^x-1；由f′（x）=0，得x=0，当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，0）上单调递减；∴函数f（x）的最小值为f（0）=1．
（2）∵M∩P≠∅，∴f（x）＞ax在区间[12，1]有解，由f（x）＞ax，得e^x-x＞ax，即a＜exx-1在[12，2]上有解；
令g（x）=exx-1，x∈[12，2]，则g′（x）=(x-1)exx2，∴g（x）在[12，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增；
又g（12）=2e-1，g（2）=e22-1，且g（2）＞g（12），∴g（x）的最大值为g（2）=e22-1，∴a＜e22-1．
（3）设存在公差为d的等差数列{a_n}和公比为q（q＞0），首项为f（1）的等比数列{b_n}，
使a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…+b_n=S_n
∵Sn=∫n0f(x)dx=∫n0(ex-x)dx=(ex-12x2)|_n=en-12n2-1；且b₁=f（1）=e-1，
∴a1+b1=S1即a1+e-1=e-32；∴a₁=-12，又n≥2时，a_n+b_n=s_n-s_n-1=e^n-1（e-1）-n+12；
故n=2，3时，有-12+d+(e-1)q=e(e-1)-32   ①-12+2d+(e-1)q2=e2(e-1)-52②；
②-①×2得，q²-2q=e²-2e，解得q=e，或q=2-e（舍），故q=e，d=-1；
此时a_n=-12+（n-1）（-1）=12-n，bn=(e-1)en-1且an+bn=(e-1)en-1+12-n=Sn-Sn-1；
∴存在满足条件的数列{a_n}，{b_n}满足题意．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函f（x）=ex-x（e为自然对数的.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

1、交集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为


。

2、并集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为


。

3、全集、补集概念：

（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
        补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作C_UA，读作U中A的补集，表达式为C_UA={x|x∈U，且x

A}。
（2）韦恩图表示为


。

1、交集的性质：

 

2、并集的性质：

 

3、补集的性质：