已知f是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f单调递增，f=0．设ϕ=sin2x+mcosx-2m，集合M={m|对任意的x∈[0，π2

题文

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）单调递增，f（-1）=0．设ϕ（x）=sin²x+mcosx-2m，集合M={m|对任意的x∈[0，π2]，ϕ(x)＜0}，集合N={m|对任意的x∈[0，π2]，f(ϕ(x))＜0}，则M∩N为______．（注：m取值范围构成集合．） 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意，f（x）＜0等价于x＜-1或0＜x＜1，…2分
于是f（φ（x））＜0等价于φ（x）＜-1或0＜φ（x）＜1，…2分
从而M∩N={m|∀x∈[0，π2]，φ（x）＜-1}…2分
由φ（x）＜-1，问题转化为：∀x∈[0，π2]sin²x+mcosx-2m＜-1恒成立．…2分
令t=cosθ，0≤t≤1，问题转化为：t²-mt+2m-2＞0，即m在t∈[0，1]上恒成立
可得m＞2-t22-t，求出2-t22-t在∈[0，1]上的最大值，2＞2-t＞1，
2-t22-t=-(2-t)2+4(2-t)-22-t=-（2-t）-22-t+4=-[（2-t）+22-t]+4≤-22+4
（当t=2-2时等号成立）
∴m＞4-22，即M∩N=（4-22，+∞）…4分

解析

π2

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

1、交集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为


。

2、并集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为


。

3、全集、补集概念：

（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
        补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作C_UA，读作U中A的补集，表达式为C_UA={x|x∈U，且x

A}。
（2）韦恩图表示为


。

1、交集的性质：

 

2、并集的性质：

 

3、补集的性质：