已知集合A={x|x2-4ax+2a+6=0，x∈R}，集合B={x|x＜0}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

题文

已知集合A={x|x²-4ax+2a+6=0，x∈R}，集合B={x|x＜0}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（法1）：因为A∩B≠∅，所以方程x²-4ax+2a+6=0有负根；…（1分）
设方程的根为x₁，x₂
（1）恰有一个负根：△=16a2-4(2a+6)＞0x1x2=2a+6＜0或△=16a2-4(2a+16)＞0x1=0且x2＜0…（3分）
解得：a＞32或a＜-1a＜-3或a＞32或a＜-1a=-3…（5分）
即a≤-3…（6分）
（2）恰有2个负根△≥0x1x2＞0x1+x2＜0…（7分）
解得：a≥32或a≤-1a＜0a＞-3…（8分）
即-3＜a≤-1…（9分）
所以a的取值范围是{a|a≤-1}…（10分）
（法2）：因为x²-4ax+2a+6=0有负根，所以a=6+x24x-2（x＜0）有解，
设y=6+x24x-2（x＜0），
令t=4x-2＜-2，换元得y=t2+4t+10016t=116(t+100t+4)≤-1
所以a≤-1

解析

△=16a2-4(2a+6)＞0x1x2=2a+6＜0

考点

据考高分专家说，试题“已知集合A={x|x2-4ax+2a+6.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

1、交集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为


。

2、并集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为


。

3、全集、补集概念：

（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
        补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作C_UA，读作U中A的补集，表达式为C_UA={x|x∈U，且x

A}。
（2）韦恩图表示为


。

1、交集的性质：

 

2、并集的性质：

 

3、补集的性质：