设函数f定义在R上，对于任意实数m、n，恒有f(m+n)=f(m)⋅f(n)，且当x＞0时，0＜f＜1．求证：f=1，且当x＜0时，f（

题文

设函数f（x）定义在R上，对于任意实数m、n，恒有f(m+n)=f(m)⋅f(n)，且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；
（2）设集合A={(x，y)|f(x2)⋅f(y2)＞f(1)}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令m=1，n=0，得f（1）=f（1）•f（0）
又当x＞0时，0＜f（x）＜1，所以f（0）=1
设x＜0，则-x＞0
令m=x，n=-x，则f（0）=f（x）•f（-x）
所以f（x）•f（-x）=1
又0＜f（-x）＜1，所以f（x）=1f(-x)＞1
（2）设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0
所以0＜f（x₂-x₁）＜1，从而f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）•f（x₁），
又由已知条件及（1）的结论知f（x）＞0恒成立
所以f(x2)f(x1)=f（x₂-x₁），所以0＜f(x2)f(x1)＜1，
所以f（x₂）＜f（x₁），故f（x）在R上是单调递减的．
由f（x²）•f（y²）＞f（1）得：f（x²+y²）＞f（1），
因为f（x）在R上单调递减，所以x²+y²＜1，即A表示圆x²+y²=1的内部，
由f（ax-y+2）=1=f（0）得：ax-y+2=0
所以B表示直线ax-y+2=0，
所以A∩B=∅，所以直线与圆相切或相离，即21+a2≥1
解得：-3≤a≤3．

解析

1f(-x)

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）定义在R上，对于任意实数m.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

1、交集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为


。

2、并集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为


。

3、全集、补集概念：

（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
        补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作C_UA，读作U中A的补集，表达式为C_UA={x|x∈U，且x

A}。
（2）韦恩图表示为


。

1、交集的性质：

 

2、并集的性质：

 

3、补集的性质：