设集合A={x|4x-2x+2+a=0，x∈R}．若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；若对于任意a∈B，不等式x2-6x＜a恒成立，

题文

设集合A={x|4^x-2^x+2+a=0，x∈R}．
（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；
（2）若对于任意a∈B，不等式x²-6x＜a（x-2）恒成立，求x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令2^x=t（t＞0），设f（t）=t²-4t+a，由f（t）=0在（0，+∞）上仅有一根或两相等实根，
①f（t）=0有两等根时，△=0⇒16-4 a=0⇒a=4．
验证：t²-4t+4=0⇒t=2∈（0，+∞）这时x=1．
②f（t）=0有一正根和一负根时，f（0）＜0⇒a＜0．
③若f（0）=0，则a=0，此时4^x-2•2^x=0⇒2^x=0，（舍去），或2^x=4，∴x=2，此时A中只有一个元素．
∴实数a的取值集合为B={a|a≤0或a=4}．
（2）要使原不等式对任意a∈（-∞，0]∪{4}恒成立，即g（a）=（x-2）a-（x²-6x）＞0恒成立．
只须x-2≤0g(4)＞0⇒x≤2x2-10x+8＜0⇒5-17＜x≤2．

解析

x-2≤0g(4)＞0

考点

据考高分专家说，试题“设集合A={x|4x-2x+2+a=0，.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

1、交集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为


。

2、并集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为


。

3、全集、补集概念：

（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
        补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作C_UA，读作U中A的补集，表达式为C_UA={x|x∈U，且x

A}。
（2）韦恩图表示为


。

1、交集的性质：

 

2、并集的性质：

 

3、补集的性质：