在数列{an}和{bn}中，an=an，bn=n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈N*，b∈R．若a1=b1，a2＜b2，求数列{bn}

题文

在数列{a_n}和{b_n}中，a_n=aⁿ，b_n=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈N^*，b∈R．
（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂＜b₂，求数列{b_n}的前n项和；
（Ⅱ）证明：当a=2，b=2时，数列{b_n}中的任意三项都不能构成等比数列；
（Ⅲ）设A={a₁，a₂，a₃，…}，B={b₁，b₂，b₃，…}，试问在区间[1，a]上是否存在实数b使得C=A∩B≠∅．若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，试说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为a₁=b₁，所以a=a+1+b，b=-1，（1分）
由a₂＜b₂，得a²-2a-1＜0，
所以1-2＜a＜1+2，（3分）
因为a≥2且a∈N^*，所以a=2，（4分）
所以b_n=3n-1，{b_n}是等差数列，
所以数列{b_n}的前n项和Sn=n2(b1+bn)=32n2+12n．（5分）
（Ⅱ）由已知bn=3n+2，假设3m+2，3n+2，3t+2成等比数列，其中m，n，t∈N^*，且彼此不等，
则(3n+2)2=(3m+2)(3t+2)，（6分）
所以9n2+62n+2=9mt+32m+32t+2，
所以3n2-3mt=(m+t-2n)2，
若m+t-2n=0，则3n²-3mt=0，可得m=t，与m≠t矛盾；（7分）
若m+t-2n≠0，则m+t-2n为非零整数，(m+t-2n)2为无理数，
所以3n²-3mt为无理数，与3n²-3mt是整数矛盾．（9分）
所以数列{b_n}中的任意三项都不能构成等比数列．
（Ⅲ）设存在实数b∈[1，a]，使C=A∩B≠∅，
设m₀∈C，则m₀∈A，且m₀∈B，
设m₀=a^t（t∈N^*），m₀=（a+1）s+b（s∈N^*），
则a^t=（a+1）s+b，所以s=at-ba+1，
因为a，t，s∈N^*，且a≥2，所以a^t-b能被a+1整除．（10分）
（1）当t=1时，因为b∈[1，a]，a-b∈[0，a-1]，
所以s=a-ba+1∉N*；（11分）
（2）当t=2n（n∈N^*）时，a²ⁿ-b=[（a+1）-1]²ⁿ-b=（a+1）²ⁿ+-C_2n¹（a+1）+1-b，
由于b∈[1，a]，所以b-1∈[0，a-1]，0≤b-1＜a+1，
所以，当且仅当b=1时，a^t-b能被a+1整除．（12分）
（3）当t=2n+1（n∈N^*）时，a²ⁿ⁺¹-b=[（a+1）-1]²ⁿ⁺¹-b=（a+1）²ⁿ⁺¹++C_2n+1¹（a+1）-1-b，
由于b∈[1，a]，所以b+1∈[2，a+1]，
所以，当且仅当b+1=a+1，即b=a时，a^t-b能被a+1整除．（13分）
综上，在区间[1，a]上存在实数b，使C=A∩B≠∅成立，且当b=1时，C={y|y=a²ⁿ，n∈N^*}；当b=a时，C={y|y=a²ⁿ⁺¹，n∈N}．

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}和{bn}中，an=an，.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

1、交集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为


。

2、并集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为


。

3、全集、补集概念：

（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
        补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作C_UA，读作U中A的补集，表达式为C_UA={x|x∈U，且x

A}。
（2）韦恩图表示为


。

1、交集的性质：

 

2、并集的性质：

 

3、补集的性质：