题文
设
的所有排列
的集合为
；
，记
，
；求
．（其中
表示集合
的元素个数）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解析
：我们一般地证明，若
，对于前
个正整数
的所有排列
构成的集合
，若
，
，则
．
下面用数学归纳法证明：
．
当
时，由排序不等式知，集合
中的最小元素是
，最大元素是
．又，
，
，
，所以，
=
共有11=
个元素．因此，
时命题成立．假设命题在
（
）时成立；考虑命题在
时的情况．对于
的任一排列
，恒取
，得到
的一个排列
，
则
．由归纳假设知，此时
取遍区间
上所有整数．
再令
，则
，
再由归纳假设知，
取遍区间
上的所有整数．
因为
，所以，
取遍区间
上的所有整数．即命题对
也成立．由数学归纳法知，命题成立．
由于
，从而，集合
的元素个数为
．特别是，当
时，
．
考点
据考高分专家说，试题“设的所有排列的集合为；，记，；求．（其中.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）1、交集概念：
（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为
。
2、并集概念：
（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为
。
3、全集、补集概念：
（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作CUA，读作U中A的补集，表达式为CUA={x|x∈U，且x
A}。
（2）韦恩图表示为
。
1、交集的性质：
2、并集的性质：
3、补集的性质：
