(本小题满分16分)已知函数f(x)=x2-2ax+a+2，aÎR．(1)若不等式f(x)<0的解集为Æ，求实数a的取值范围；(2

题文

(本小题满分16分)


已知函数f(x)=x²-2ax+a+2，aÎR．
(1)若不等式f(x)<0的解集为Æ，求实数a的取值范围；
(2)若不等式f(x)≥a对于xÎ[0，+∞)恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）[-1，2]．（2）a≤

．

解析

本试题主要是考查了一元二次不等式的解集的求解，以及二次不等式的恒成立问题的综合运用。
（1）首先根据二次不等式的解集为空集，说明了判别式小于等于零，从而得到参数的取值范围。
（2）根据不等式f(x)≥a可化为x²-2ax+2≥0对于xÎ[0，+∞)恒成立，然后分析函数g(x)= x²-2ax+2，在给定区间的最小值即可。
解: (1)若不等式f(x)<0的解集为Æ，
则方程f(x)=0的判别式∆≤0，                         ··········· 2分
即∆=(-2a)²-4(a+2)≤0⇒a²-a-2≤0⇒-1≤a≤2，
所以实数a的取值范围是[-1，2]．                     ··········· 7分
(2)不等式f(x)≥a可化为x²-2ax+2≥0对于xÎ[0，+∞)恒成立，
令g(x)= x²-2ax+2，函数g(x)的对称轴为x=a，(借助函数图象)········· 9分
当a≥0时，则只需g(a)= a²-2a²+2= -a²+2≥0
⇒－

≤a≤

，即0≤a≤

；   ··················· 12分
当a<0时，则只需g(0)=2>0恒成立，此时a<0；         ··········· 14分
综上，实数a的取值范围为a≤

．                    ·········· 16分
(注：第(2)小题也可以用分离参数的方法来求解)

考点

据考高分专家说，试题“(本小题满分16分)已知函数f(x)=x.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

1、交集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为


。

2、并集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为


。

3、全集、补集概念：

（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
        补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作C_UA，读作U中A的补集，表达式为C_UA={x|x∈U，且x

A}。
（2）韦恩图表示为


。

1、交集的性质：

 

2、并集的性质：

 

3、补集的性质：