题文
(13分)在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合
由全体二元有序实数组组成,在
上定义一个运算,记为
,对于
中的任意两个元素
,
,规定:
.
(1)计算:
;
(2)请用数学符号语言表述运算
满足交换律,并给出证明;
(3)若“
中的元素
”是“对
,都有
成立”的充要条件,试求出元素
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
. (2)交换律:
,证明见解析；(3)
.
解析
这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．（1）由已知α⊙β=（ad+bc，bd-ac），将：（2，3）⊙（-1，4）中参与运算的两个元素代入易得答案．
（2）根据已经学过的数、向量等的交换率，类比给出⊙运算的交换率，结合⊙的定义，不难证明．
（3）根据充要条件的定义，结合⊙的定义，不难得到一个关于I=（x，y）的方程组，解方程组，即可得到答案．
解:(1)
. ………3分
(2)交换律:
, ………4分
证明如下:设
,
,则
,
=
=
.
∴
. ……… 8分
(3)设
中的元素
,对
,都有
成立,
由(2)知只需
,即
①若
,显然有
成立;
②若
,则
,解得
,
∴当对
,都有
成立时,得
,
易验证当
时,有对
,都有
成立………13分
∴
.
考点
据考高分专家说，试题“(13分)在中学阶段,对许多特定集合(如.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）1、交集概念：
（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为
。
2、并集概念：
（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为
。
3、全集、补集概念：
（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作CUA，读作U中A的补集，表达式为CUA={x|x∈U，且x
A}。
（2）韦恩图表示为
。
1、交集的性质：
2、并集的性质：
3、补集的性质：
