题文
（本小题满分12分）已知函数
，若
，则称
为
的“不动点”；若
，则称
为
的“稳定点”。记集合
（1）已知
，若
是在
上单调递增函数，是否有
？若是，请证明。
（2）记
表示集合
中元素的个数，问：
若函数
，若
,则
是否等于0？若是，请证明
若
，试问：
是否一定等于1？若是，请证明 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
(2)
,
是不一定等于1。
解析
（1）证明：先证 任取
，则
再证 任取
若
，不妨设
由单调递增可知：
与
矛盾
同理
也矛盾，所以
综上：
（2）①若
由于
无实根 则对任意实数x，
从而
故
无实根
同理若
对任意实数x，
，从而
故
也无实根
②不妨设
是B中唯一元素 则
令
那么
而
故
说明t也是
的不动点
由于
只有唯一的不动点 故
即
这说明t也是
的不动点，从而存在性得证
以下证明唯一性：若
还有另外一个不动点m，即
则
这说明
还有另外一个稳定点m
与题设矛盾。
点评：结合新定义，和已学的函数单调性的性质，来分析函数的最值， 同时对于不动点的问题，要加以转化为方程根的问题来处理，属于中档题。
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知函数，若，则称为.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）1、交集概念：
（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为
。
2、并集概念：
（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为
。
3、全集、补集概念：
（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作CUA，读作U中A的补集，表达式为CUA={x|x∈U，且x
A}。
（2）韦恩图表示为
。
1、交集的性质：
2、并集的性质：
3、补集的性质：
