对于E={a1,a2,…,a100}的子集X=,定义X的“特征数列”为x1,x2…,x100,其中==…==1.其余项均为0,例如:子集{a2,a3}的“特征数

题文

对于E={a₁,a₂,…,a₁₀₀}的子集X=

,定义X的“特征数列”为x₁,x₂…,x₁₀₀,其中

=

=…=

=1.其余项均为0,例如:子集{a₂,a₃}的“特征数列”为0,1,1,0,0,…,0.
(1)子集{a₁,a₃,a₅}的“特征数列”的前3项和等于 ;
(2)若E的子集P的“特征数列”p₁,p₂,…,p₁₀₀满足p₁=1,p_i+p_i+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q₁,q₂,…,q₁₀₀满足q₁=1,q_j+q_j+1+q_j+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为 . 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)2 (2)17

解析

(1)根据定义,子集{a₁,a₃,a₅}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,0,…,0,共有3个1,其余全为0,该数列前3项和为2.
(2)E的子集P的“特征数列”p₁,p₂,…,p₁₀₀中,由于p₁=1,p_i+p_i+1=1(1≤i≤99),因此集合P中必含有元素a₁.
又当i=1时,p₁+p₂=1,且p₁=1,故p₂=0.
同理可求得p₃=1,p₄=0,p₅=1,p₆=0,….
故E的子集P的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,1,0,…,1,0,
即P={a₁,a₃,a₅,a₇,…,a₉₉}.
用同样的方法求出Q={a₁,a₄,a₇,a₁₀,…,a₁₀₀}.
因为1+3(n-1)=100,所以集合Q中有34个元素,下标是奇数的项有17个,
即P∩Q={a₁,a₇,a₁₃,a₁₉,…,a₉₇},共有17个元素.

考点

据考高分专家说，试题“对于E={a1,a2,…,a100}的子.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

1、交集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为


。

2、并集概念：

（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为


。

3、全集、补集概念：

（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
        补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作C_UA，读作U中A的补集，表达式为C_UA={x|x∈U，且x

A}。
（2）韦恩图表示为


。

1、交集的性质：

 

2、并集的性质：

 

3、补集的性质：