已知数列{an}，{bn}与函数f，g，x∈R满足条件：an=bn，f=g。若f≥tx+1，

题文

已知数列{a_n}，{b_n}与函数f（x），g（x），x∈R满足条件：a_n=b_n，f（b_n）=g（b_n+1）（n∈N*）。
（1）若f（x）≥tx+1，t≠0，t≠2，g（x）=2x，f（b）≠g（b），

存在，求

的值；
（2）若函数y=f（x）为R上的增函数，g（x）=f^-1（x），b=1，f（1）＜1，证明对任意n∈N*，a_n+1＜a_n（用t表示）。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由题设知

得


又已知

，可得


由

可知


所以

是等比数列，其首项为

，公比为

，于是



即


又

存在，可得


所以-2＜t＜2且t≠0
∴

。
（2）因为


所以


即


下面用数学归纳法证明a_n+1＜a_n（n∈N*）
（i）当n=1时，由f（x）为增函数，且

＜1，得


＜1


＜1


＜


即a₂＜a₁，结论成立
（ii）假设n=k时结论成立，即

＜

，由f（x）为增函数，得
f（a_k+1）＜f（a_k），即

＜


进而得

＜f（

）即

＜


这就是说当n=k+1时，结论也成立
根据（i）（ii）可知，对任意的n∈N*，a_n+1＜a_n。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}，{bn}与.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。