已知不等式[log2n]，其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数。设数列{an}的各项为正，且满足a1=b，an≤

题文

已知不等式

[log₂n]，其中n为大于2的整数，[log₂n]表示不超过log₂n的最大整数。设数列{a_n}的各项为正，且满足a₁=b（b＞0），a_n≤

，n=2，3，4，…
（Ⅰ）证明a_n＜

，n=3，4，5，…
（Ⅱ）猜测数列{a_n}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n＞N时，对任意b＞0，都有a_n＜

。

题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）∵当n≥2时，

，
∴

，即

，
于是有

，
所有不等式两边相加可得

，
由已知不等式知，当n≥3时有，

，
∵

，
∴

，

。
 （Ⅱ）有极限，且

；
（Ⅲ）∵

，令

，
则有

，
故取N=1024，可使当n＞N时，都有

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知不等式[log2n]，其中n.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。