定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为．若数列{an}前n项的“倒平均数”为，求{an}的通项公式；设数列{bn}满足：当n为奇

题文

定义x₁，x₂，…，x_n的“倒平均数”为 

（n∈N*）．
（1）若数列{a_n}前n项的“倒平均数”为 

，求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：当n为奇数时，b_n=1，当n为偶数时，b_n=2．若T_n为{b_n}前n项的倒平均数，求 

；
（3）设函数f（x）=﹣x²+4x，对（1）中的数列{a_n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤ 

对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）设数列{a_n}的前n项和为S_n，
由题意，

 ，
所以

 ．  
所以a₁=S₁=6，
当n≥2时，a_n=S_n﹣S_n﹣1=4n+2，而a₁也满足此式．
所以{a_n}的通项公式为a_n=4n+2．
（2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，
则当n为偶数时，

 ，
当n为奇数时，

 ．  
所以 

．   
所以 

 

． 
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）

 对任意n∈N*恒成立，
则﹣x²+4x≤

 对任意n∈N*恒成立，
令

 ，因为

 ，
所以数列{c_n}是递增数列，
所以只要﹣x²+4x≤c₁，即x²﹣4x+3≥0，解得x≤1或x≥3．
所以存在最大的实数λ=1，
使得当x≤λ时，f（x）

 对任意n∈N*恒成立．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“定义x1，x2，…，xn的“倒平均.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。