已知{an}是正数组成的数列，其前n项和2Sn=an2+an，数列{bn}满足b1=32，bn+1=bn+3an(n∈N*)．求数列{an}，

题文

已知{a_n}是正数组成的数列，其前n项和2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*），数列{b_n}满足b1=32，bn+1=bn+3an(n∈N*)．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若c_n=a_nb_n（n∈N^*），数列{c_n}的前n项和Tn，求limn→∞Tncn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）a1 =S1=12(a12+a1)，∴a₁=1，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=12(an2+an)-12(an-12+an-1)，
∴a_n²-a_n-1²-a_n-a_n-1=0，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∴a_n-a_n-1=1．
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n．
于是b_n+1=b_n+3ⁿ，∴b_n+1-b_n=3ⁿ，b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=32+3+32+…+3n-1=32+3-3n1-3=3n2．
（II）cn=12n•3n，
∴Tn=12(1×3+2×32+…n×3n)，3Tn=12(1×32+2×33+…+n×3n+1)，
∴2Tn=12(n•3n+1-3-32-…-3n)=12(n•3n+1-3-3n+11-3)=(2n-1)•3n=1+34，
Tn =(2n-1)•3n+1+38，
∴limn→∞Tncn=limn→∞(2n-1)•3n+1+38n•3n2
=limn→∞(2n-1)•3n+1+34n•3n
=limn→∞(32-34n+34n• 13n)=32．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是正数组成的数列，其前n项和.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。