已知数列{an}满足条件an+1=，且a2=6，计算a1、a3、a4，请猜测数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明；（2

题文

已知数列{a_n}满足条件（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），且a₂=6，
（1）计算a₁、a₃、a₄，请猜测数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明；
（2）设b_n=a_n+n（n∈N^*），求limn→∞(1b2-2+1b3-2+…1bn-2)的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，a₁=1，且a₂=6
当n=2时，a₃=3（a₂-1）=15，
当n=3时，2a₄=4（a₃-1），∴a₄=28，…（2分）
猜测an=2n2-n…（4分）
下面用数学归纳法证明：
ⅰ当n=1，2，3，4时，等式an=2n2-n已成立…（5分）
ⅱ假设当n=k时，ak=2k2-k
则由（k-1）a_k+1=（k+1）（a_k-1），有：ak+1=k+1k-1(k-1)(2k+1)=2k²+3k+1=2（k+1）²-（k+1）
即n=k+1时，等式也成立
综上，an=2n2-n成立…（7分）
（2）b_n=a_n+n=2n²
∴b_n-2=2（n-1）（n+1）…（8分）
∴1bn-2=14（1n-1-1n+1）…（10分）
∴limn→∞(1b2-2+1b3-2+…1bn-2)=limn→∞14[(1-13)+(12-14)+…+(1n-1-1n+1)]
=limn→∞14(32-1n-1n+1)=38…（12分）

解析

k+1k-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足条件（n-1）an+.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。