数列{an}中，a1=2，an+1=an2+1an，试证：2＜an＜2+1n．

题文

数列{a_n}中，a1=2，an+1=an2+1an，试证：2＜an＜2+1n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：∵a₁=2，an+1=0.5an+1an，∴a_n＞0，
∵0.5a_n²-a_n+1a_n+1=0，由△=a_n+1²-2≥0，得an+1≤-2（舍去）或an+1≥2．
当n=1时，a1=2＜2+1；
当n=2时，a2=0.5a1+1a1=32＜2+12．
假设当n=k（k∈N）时，ak＜ 2+1k，
那么当n=k+1时，ak+1=0.5ak+1ak，
∵0.5ak+1ak≥2，当且仅当ak=2时等号成立，2≤ak＜2+1k，
∴ak+1≤0.5(2+1k) +12+1k．
面用作商法比较0.5(2+1k) +12+1k和2+1k+1的大小．
∵0.5(2+1k)+12+1k 2+1k+1=4k2+22k+12k(2k+1)2k+2+1k-1=4k3+(4+22)k2+(22+1)k+1 4k3+4(1+2)k2+2(2+1) k＜1，
∴0.5(2+1k)  +12+1k＜2+1k+1，
∴ak+1＜2+1k+1，
即当n=k+1时，an＜2+1n成立．
∴对于任意n∈N，2＜an＜2+1n均成立．

解析

1an

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a1=2，an+1=an.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。