已知：x∈N*，y∈N*，且1x+n2y=1．当n=3时，求x+y的最小值及此时的x、y的值；若n∈N*，当x+y取最小值时，记an=x

题文

已知：x∈N^*，y∈N^*，且 1x+n2y=1（n∈N^*）．
（Ⅰ）当n=3时，求x+y的最小值及此时的x、y的值；
（Ⅱ）若n∈N^*，当x+y取最小值时，记a_n=x，b_n=y，求a_n，b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，试求limn→∞Tnn•Sn的值．
注：12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n=3时，则有1x+9y=1
∴，x+y=(x+y)(1x+9y)=10+yx+9xy≥16，
当且仅当yx=9xy，即x=4y=12时，取等号．所以，当x=4y=12时，x+y的最小值为16．
（Ⅱ）∵，1x+n2y=1，∴，x+y=(x+y)(1x+n2y)=n2+1+yx+n2xy≥(n+1)2，
当且仅当yx+n2xy，即x=n+1y=n(n+1)时，取等号．所以，a_n=n+1，b_n=n（n+1）．
（Ⅲ）因为S_n=a₁+a₂+…+a_n=2+3+…+(n+1)=12n(n+3)，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=（1+1²）+（2+2²）+（3+3²）+…+（n+n²）=（1+2+3+…+n）+（1²+2²+…+n²）=n(n+1)2+16n(n+1)(2n+1)=13n(n+1)(n+2)
所以limn→∞Tnn•Sn=23．

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知：x∈N*，y∈N*，且1x+n2y.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。